乌龟对阿喀琉斯说了什么 (what the tortoise said to Achilles)

刘易斯卡罗尔于 1895 年为哲学杂志 Mind 撰写的《乌龟对阿喀琉斯说了什么》是关于逻辑基础的简短寓言对话。 标题暗示了芝诺的运动悖论之一，其中阿喀琉斯永远无法在比赛中超越乌龟。 在卡罗尔的对话中，乌龟挑战阿喀琉斯使用逻辑的力量让他接受一个简单的演绎论证的结论。 最终，阿喀琉斯失败了，因为聪明的乌龟将他带入了无限的倒退。

乌龟对阿喀琉斯说的话 (what the tortoise said to Achilles)

对话摘要
讨论首先考虑以下逻辑论点：

A：“相等的事物彼此相等”（欧几里得关系）
B：“这个三角形的两条边是相等的东西”
因此，Z：“这个三角形的两条边相等”
乌龟问阿喀琉斯，结论是否从前提逻辑推导出来，阿喀琉斯承认它显然是这样。然后乌龟问阿喀琉斯是否有一个欧几里得的读者承认这个论证在逻辑上是有效的，作为一个序列，同时否认 A 和 B 是真的。 Achilles 承认这样的读者可能存在（即，一个否定前提的读者），并且他认为如果 A 和 B 为真，则 Z 必须为真，但尚未接受 A 和 B 为真。

然后乌龟问阿喀琉斯是否可能存在第二种读者，他接受 A 和 B 为真，但尚未接受如果 A 和 B 都为真，则 Z 必须为真这一原则。阿喀琉斯向乌龟授予第二种读者可能也存在。然后，乌龟要求阿喀琉斯将乌龟视为第二种读者。阿基里斯现在必须在逻辑上迫使乌龟接受 Z 必须是真的。 （乌龟是否认论证形式本身的读者；三段论的结论、结构或有效性。）

在他的笔记本上写下 A、B 和 Z 后，阿基里斯要求乌龟接受以下假设：

C：“如果 A 和 B 为真，则 Z 一定为真”
乌龟同意接受 C，如果阿基里斯会在他的笔记本上写下它必须接受的内容，提出新的论点：

A：“相同的事物是平等的”
B：“这个三角形的两条边是相等的东西”
C：“如果 A 和 B 为真，则 Z 一定为真”
因此，Z：“这个三角形的两条边相等”
但是现在乌龟接受了前提 C，它仍然拒绝接受扩展论证。当阿基里斯要求“如果你接受 A、B 和 C，你必须接受 Z”时，乌龟评论说这是另一个假设命题，并建议即使它接受 C，如果它没有看到真相：

D：“如果 A 和 B 和 C 为真，则 Z 必须为真”
一旦阿喀琉斯写下每个假设前提，乌龟就会继续接受它，但否认结论必然遵循，因为每次它都否认假设如果到目前为止写下的所有前提都为真，则 Z 必须为真：

“最后，终于走到了这个理想赛马场的尽头！既然你接受了 A 和 B 以及 C 和 D，那么你当然接受了 Z。”

“是吗？”乌龟无辜地说。 “让说清楚。我接受A和B，C和D。假设我仍然拒绝接受Z？”

“那逻辑就会扼住你的喉咙，强迫你去做！”阿喀琉斯得意洋洋地回答。 “逻辑会告诉你，‘你无法自拔。既然你已经接受了 A、B、C 和 D，你就必须接受 Z！’所以你别无选择，你看。”

“任何逻辑足以告诉我的东西都值得写下来，”乌龟说。 “所以请把它记在你的笔记本上。会叫它

(E) 如果 A 和 B 以及 C 和 D 为真，则 Z 必须为真。
在我同意之前，我当然不需要同意 Z。所以这是一个非常必要的步骤，你明白吗？”

“我明白了，”阿喀琉斯说。他的语气中带着一丝悲伤。

因此，前提列表继续无止境地增长，使论点始终采用以下形式：

(1)：“相等的事物彼此相等”
(2)：“这个三角形的两条边是相等的东西”
(3): (1) 和 (2) (Z)
(4): (1) 和 (2) 和 (3) (Z)
...
(n): (1) 和 (2) 和 (3) 和 (4) 和 ... 和 (n 1) (Z)
因此，（Z）：“这个三角形的两条边彼此相等”
在每一步，乌龟都争辩说，即使他接受了所有已写下的前提，还有一些进一步的前提（如果 (1)-(n) 都为真，那么 (Z) 必须为真）在被迫接受 (Z) 为真之前，它仍然需要接受。

解释
刘易斯卡罗尔表明，有一个由前件推理推理引起的回归问题。

{\displaystyle {\frac {P\to Q,\}{\因此 Q}}}\frac{P \to Q,\; P}{\因此 Q}
或者，用语言来说：命题 P（为真）蕴含 Q（为真），给定 P，因此 Q。

回归问题的出现是因为需要先验原则来解释逻辑原则，这里是先决条件，并且一旦解释了该原则，就需要另一个原则来解释该原则。因此，如果因果链要继续下去，论证就会陷入无限倒退。但是，如果引入了一个正式系统，其中先决条件只是系统内定义的推理规则，则只需在系统内进行推理即可遵守。类似地，国际象棋是根据一套特定的规则下棋的，当一个人下棋时，他们不能质疑或乞求与给定的规则不同，而是必须遵守它们，因为它们构成了游戏的框架。这并不是说棋手同意这些规则（例如，考虑规则变化，例如过客）。同样，逻辑的形式系统由系统用户遵循的推理规则组成，当一个人根据这个形式系统进行推理时，他们不能质疑或不同于这些推理规则，而是必须遵守它们因为它们构成了系统的组成部分。这并不是说根据这个形式系统进行推理的用户同意这些规则（例如，考虑建构主义者拒绝排中律和辩证神论者拒绝不矛盾律）。这样，将逻辑形式化为一个系统可以被认为是对无限倒退问题的回应：前件式作为规则被置于系统内，前件式的有效性在没有系统的情况下被回避。

在命题逻辑中，逻辑含义定义如下：

P 蕴含 Q 当且仅当命题不是 P 或 Q 是重言式。

因此 de modo ponente，[P ∧ (P → Q)] Q，根据刚刚陈述的逻辑蕴涵的定义，是一个有效的逻辑结论。展示逻辑含义简单地转化为验证复合真值表产生重言式。但是乌龟并不相信这个解释所依据的命题逻辑规则。他要求这些规则也受到逻辑证明的约束。乌龟和阿喀琉斯不同意任何逻辑蕴涵的定义。

此外，这个故事暗示了命题解决方案的问题。在命题逻辑系统中，没有任何命题或变量带有任何语义内容。一旦任何命题或变量出现语义内容，问题就会再次出现，因为语义内容在系统之外运行。因此，如果要说解决方案有效，则可以说它仅在给定的形式系统内有效，而不是在其他情况下有效。

一些逻辑学家（肯尼斯·罗斯、查尔斯·赖特）在条件连接和蕴涵关系之间做出了明确的区分。这些逻辑学家使用短语 not p 或 q 来表示条件连接词，而术语蕴涵则用于断言的蕴涵关系。

讨论
几位哲学家试图解决卡罗尔悖论。 Bertrand Russell 在《数学原理》（1903 年）的第 38 节中简要讨论了这个悖论，区分了蕴涵（与“如果 p，则 q”的形式相关），他认为它是未断言命题之间的关系，以及推理（相关形式为“p，因此 q”），他认为这是断言命题之间的关系；做出这种区分后，罗素可以否认乌龟试图从 A 和 B 推断 Z 等同于或依赖于同意假设“如果 A 和 B 为真，则 Z 为真”。

维特根斯坦哲学家彼得·温奇在《社会科学理念及其与哲学的关系》（1958）中讨论了这个悖论，他认为该悖论表明“得出推理的实际过程，毕竟是核心逻辑，是不能用逻辑公式表示的东西……学习推断不仅仅是教授命题之间明确的逻辑关系；它是学习做某事”（第 57 页）。温奇接着提出，对话的寓意是一般课程的一个特例，大意是正确应用支配人类活动形式的规则本身不能用一组进一步的规则来概括，因此“人类活动的一种形式永远不能用一组明确的规则来概括”（第 53 页）。

卡罗尔的对话显然是对关于逻辑真理的约定主义障碍的第一次描述，后来被W.V.O. Quine以更清醒的哲学术语进行了改造。

参考资料：
Lewis Carroll (April 1895). "What the Tortoise Said to Achilles". Mind. IV (14): 278–280. doi:10.1093/mind/IV.14.278.
in the New Series of the same journal, a century later: Lewis Carroll (1 October 1995). "What the Tortoise Said to Achilles". Mind. 104 (416): 691–693. doi:10.1093/mind/104.416.691. JSTOR 2254477.
in The Penguin Complete Lewis Carroll. Harmondsworth, Penguin. 1982. pp. 1104–1108.
on a number of websites, including "What the Tortoise Said to Achilles" at Digital Text International, and "What the Tortoise Said to Achilles" at Fair Use Repository.
on Wikisource:  The full text of What the Tortoise Said to Achilles at Wikisource.
in Douglas Hofstadter (1979). Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid. Basic Books. ISBN 978-0-465-02656-2. Reprinted as the second dialogue, entitled "Two-Part Invention – or What the Tortoise Said to Achilles", between chapters 1 and 2. Hofstadter appropriated the characters of Achilles and the Tortoise for other, original, dialogues in the book which alternate contrapuntally with prose chapters.
Maddy, P. (December 2012). "The Philosophy of Logic". Bulletin of Symbolic Logic. 18 (4): 481–504. doi:10.2178/bsl.1804010. JSTOR 23316289.
Quine, W.V.O. (1976). The Ways of Paradox, and Other Essays. Cambridge, MA: Harvard University Press. ISBN 9780674948358. OCLC 185411480.