乌鸦悖论

乌鸦悖论，也称为 Hempel 悖论、Hempel 的乌鸦，或者很少是室内鸟类学的悖论，是由什么构成陈述的真实性证据的问题引起的一个悖论。 观察既不是黑色也不是乌鸦的物体可能会正式增加所有乌鸦都是黑色的可能性，尽管直觉上这些观察是不相关的。

这个问题是由逻辑学家卡尔·古斯塔夫·亨佩尔在 1940 年代提出的，以说明归纳逻辑与直觉之间的矛盾。

乌鸦悖论

悖论
Hempel 根据假设描述了这个悖论：

(1) 所有的乌鸦都是黑色的。以暗示的形式，这可以表示为：如果某物是乌鸦，那么它是黑色的。
通过对立，这个语句等价于：

(2) 如果某物不是黑色的，那么它就不是乌鸦。
在所有（2）为真的情况下，（1）也为真——同样，在所有（2）为假的情况下（即，如果想象一个世界，其中的东西不是黑色的，而是一只乌鸦，存在），（1）也是错误的。

给定一个一般性陈述，例如所有乌鸦都是黑色的，引用一般类的特定可观察实例的同一陈述形式通常会被视为构成该一般性陈述的证据。例如，

(3) 我的宠物乌鸦是黑色的。
是支持所有乌鸦都是黑色的假设的证据。

当同样的过程应用于陈述（2）时，就会出现悖论。看到青苹果时，可以观察到：

(4) 这个青苹果不是黑的，也不是乌鸦。
通过同样的推理，这个陈述证明（2）如果某物不是黑色的，那么它就不是乌鸦。但是由于（如上所述）这个陈述在逻辑上等价于（1）所有乌鸦都是黑色的，因此看到一个绿色的苹果是支持所有乌鸦都是黑色的概念的证据。这个结论似乎是自相矛盾的，因为它暗示通过观察苹果已经获得了关于乌鸦的信息。

提议的决议
Nicod 的标准说，只有对乌鸦的观察才会影响人们对是否所有乌鸦都是黑色的看法。观察更多的黑乌鸦实例应该支持该观点，观察白色或彩色乌鸦应该与之相矛盾，并且观察非乌鸦应该没有任何影响。

Hempel 的等价条件指出，当一个命题 X 提供支持另一个命题 Y 的证据时，X 也提供支持任何逻辑上等价于 Y 的命题的证据。

实际上，乌鸦的集合是有限的。非黑色事物的集合要么是无限的，要么是人类无法枚举的。为了确认“所有乌鸦都是黑色的”这一说法，有必要观察所有的乌鸦。这很困难，但可能。为了确认“所有非黑色的东西都是非乌鸦”的说法，有必要检查所有非黑色的东西。这是不可能的。观察黑乌鸦可以被认为是有限数量的确认证据，但观察非黑色非乌鸦将是无限量的证据。

该悖论表明 Nicod 准则和 Hempel 等价条件并不相互一致。解决悖论必须至少拒绝以下一项：

没有影响的负面实例（！PC），
等价条件 (EC)，或者，
通过正例（NC）进行验证。
一个令人满意的解决方案还应该解释为什么天真地似乎是一个悖论。接受矛盾结论的解决方案可以通过提出一个直觉知道是错误但很容易与 (PC) 混淆的命题来做到这一点，而拒绝 (EC) 或 (NC) 的解决方案应该提出一个直觉知道的命题是真的，但这很容易与（EC）或（NC）混淆。

接受相关的非乌鸦
尽管这个悖论的结论似乎违反直觉，但一些方法认为，对（有色）非乌鸦的观察实际上可以构成支持关于乌鸦（普遍黑色）的假设的有效证据。

亨普尔的决心
Hempel 本人接受了自相矛盾的结论，认为结果看起来自相矛盾的原因是拥有先验信息，没有这些信息，对非黑非乌鸦的观察确实会提供证据证明所有乌鸦都是黑色的。

他以“所有钠盐都会变黄”这一概括的例子来说明这一点，并要求考虑当有人将一块纯冰放在不会变黄的无色火焰中时发生的观察:

这个结果将证实“任何不燃烧黄色的东西都不是钠盐”这一断言，因此，凭借等价条件，它将证实原始公式。为什么这给留下了自相矛盾的印象？当将之前的情况与尚不知道化学成分的物体放在火焰中并没有将其变黄的实验情况进行比较时，原因就很清楚了，随后的分析表明它不含钠盐。毫无疑问，应该同意，这一结果是基于假设的预期结果……因此，此处获得的数据构成了该假设的确认证据。 ...在看似自相矛盾的证实案例中，通常不会真正判断给定证据的关系，仅 E 与假设 H ...默认引入 H 与由 E 组成的证据体的比较连同碰巧拥有的额外信息量；在的插图中，此信息包括以下知识：（1）实验中使用的物质是冰，以及（2）冰不含钠盐。如果假设这些附加信息是给定的，那么，当然，实验的结果不会增加所考虑的假设的强度。但是，如果小心避免这种对额外知识的默认引用……悖论就会消失。

标准贝叶斯解
最受欢迎的提议之一是接受这样的结论，即对青苹果的观察提供了所有乌鸦都是黑色的证据，但认为由于乌鸦的数量和乌鸦的数量之间存在很大差异，提供的确认量非常小非黑色物体的数量。根据这个决议，这个结论显得自相矛盾，因为直观地估计观察一个青苹果所提供的证据数量为零，而实际上它不是零但非常小。

I. J. Good 在 1960 年对这一论点的介绍可能是最广为人知的，此后该论点的变体一直很流行，尽管它是在 1958 年提出的，而且该论点的早期形式早在 1940 年就出现了。

古德的论点包括计算观察一只黑乌鸦或一只白鞋所提供的证据的权重，以支持物体集合中的所有乌鸦都是黑色的假设。证据的权重是贝叶斯因子的对数，在这种情况下，贝叶斯因子只是在进行观察时假设的几率发生变化的因子。

该解决方案及其变体的许多支持者一直是贝叶斯概率的拥护者，现在它通常被称为贝叶斯解决方案，尽管正如 Chihara 所观察到的那样，“没有贝叶斯解决方案这样的东西。有很多不同的”贝叶斯主义者使用贝叶斯技术提出的解决方案。”使用贝叶斯技术的值得注意的方法（其中一些接受 !PC 而拒绝 NC）包括 Earman、Eells、Gibson、Hosiasson-Lindenbaum、Howson 和 Urbach、Mackie 和 Hintikka，他们声称他的方法“比 so-称为同一悖论的“贝叶斯解”。利用 Carnap 归纳推理理论的贝叶斯方法包括 Humburg、Maher 和 Fitelson & Hawthorne。 Vranas 引入了术语“标准贝叶斯解决方案”以避免混淆。

卡尔纳普方法
Maher 接受了自相矛盾的结论，并对其进行了提炼：

非乌鸦（任何颜色）证实所有乌鸦都是黑色的，因为

(i) 该对象不是乌鸦的信息消除了该对象是泛化反例的可能性，并且
(ii) 它降低了未观察到的物体是乌鸦的概率，从而降低了它们是泛化反例的概率。
为了达到 (ii)，他求助于 Carnap 的归纳概率理论，该理论（从贝叶斯的角度来看）是一种分配先验概率的方法，它自然地实现了归纳。

使用这种 Carnapian 方法，Maher 识别出一个直观（并且正确）知道是错误的命题，但很容易与自相矛盾的结论混淆。有问题的命题是观察非乌鸦告诉乌鸦的颜色。虽然这在直觉上是错误的，并且根据 Carnap 的归纳理论也是错误的，但观察非乌鸦（根据相同的理论）会导致减少对乌鸦总数的估计，从而将可能反例的估计数量减少到所有乌鸦都是黑色的规则。

因此，从贝叶斯-卡纳皮的观点来看，对非乌鸦的观察并没有告诉关于乌鸦的颜色的任何信息，但它告诉关于乌鸦的普遍性，并通过减少的估计可能不是黑色的乌鸦的数量。

背景知识的作用
对悖论的大部分讨论，特别是贝叶斯方法，都集中在背景知识的相关性上。令人惊讶的是，Maher 表明，对于一大类可能的背景知识配置，对非黑非乌鸦的观察提供的确认量与对黑乌鸦的观察完全相同。他考虑的背景知识的配置是由一个样本命题提供的，即一个由原子命题组成的命题，每个命题都将一个谓词归于单个个体，没有两个原子命题涉及同一个个体。因此，“A 是一只黑乌鸦，B 是一只白鞋”形式的命题可以被认为是一个以“黑乌鸦”和“白鞋”为谓词的样本命题。

Maher 的证明似乎与贝叶斯论证的结果相矛盾，即观察非黑色非乌鸦提供的证据比观察黑色乌鸦少得多。原因是古德和其他人使用的背景知识不能以样本命题的形式表达——特别是标准贝叶斯方法的变体通常假设（正如古德在上面引用的论点中所做的那样）乌鸦、非黑色物体和/或物体的总数是已知数量。 Maher 评论说，“认为非黑色的东西比乌鸦还多的原因是因为迄今为止观察到的东西都是如此。这种证据可以用一个样本命题来表示。但是......给定任何作为背景证据的样本命题，非黑非乌鸦对 A 的确认与黑乌鸦一样强烈……因此，我的分析表明，对悖论的这种反应[即标准贝叶斯悖论]不可能是正确的。”

Fitelson & Hawthorne 研究了观察非黑色非乌鸦提供的证据少于观察黑色乌鸦的条件。

作者指出，他们的分析与非黑非乌鸦提供极少量证据的假设完全一致，尽管他们并未试图证明这一点；他们只是计算黑色乌鸦提供的证据数量与非黑色非乌鸦提供的证据数量之间的差异。

对来自正面实例的归纳提出异议
一些解决悖论的方法集中在归纳步骤上。他们争论对特定实例（例如一只黑乌鸦）的观察是否是一种必然增加对一般假设（例如乌鸦总是黑色）的信心的证据。

红鲱鱼
古德给出了一个背景知识的例子，关于黑乌鸦的观察会降低所有乌鸦都是黑色的概率：

假设知道处于两个世界中的一个或另一个，并且假设 H 正在考虑中，即世界中的所有乌鸦都是黑色的。预先知道，在一个世界上有一百只黑乌鸦，没有非黑乌鸦，还有一百万只其他鸟类；另一个世界有一千只黑鸦，一只白鸦，还有一百万只鸟。一只鸟是从世界上所有的鸟中随机选择的。原来是一只黑乌鸦。这是强有力的证据……在第二个世界，不是所有的乌鸦都是黑色的。
古德得出结论，白鞋是一条“红鲱鱼”：有时即使是一只黑乌鸦也可以构成反对所有乌鸦都是黑色的假设的证据，因此对白鞋的观察可以支持这一事实并不奇怪，也不值得关注.根据 Good 的说法，Nicod 的标准是错误的，因此不存在自相矛盾的结论。

Hempel 拒绝将此作为悖论的解决方案，坚持认为命题“c 是一只乌鸦并且是黑色的”必须“单独考虑，而不参考任何其他信息”，并指出它“……在我在 Mind 中的文章的第 5.2(b) 节……在像白鞋这样的案例中出现自相矛盾的部分原因是未能遵守这一准则。”

然后出现的问题是，这个悖论是要在绝对没有背景信息的情况下理解（正如 Hempel 所暗示的），还是在实际拥有的关于乌鸦和黑色物体的背景信息的背景下，或者关于所有背景信息的可能配置。

Good 已经证明，对于某些背景知识配置，Nicod 的标准是错误的（假设愿意将“归纳支持”等同于“增加概率”——见下文）。仍然有可能，就的实际知识配置而言，这与古德的例子非常不同，尼科德的标准可能仍然是正确的，因此仍然可以得出自相矛盾的结论。另一方面，Hempel 坚持的背景知识本身就是红鲱鱼，应该在完全无知的情况下考虑归纳。

好宝贝
在他提出的决议中，马赫含蓄地利用了这样一个事实，即当很可能没有乌鸦时，命题“所有乌鸦都是黑色的”是很可能的。 Good 之前曾使用这一事实来回应 Hempel 坚持认为 Nicod 的标准应被理解为在没有背景信息的情况下成立：

...想象一个无限智能的新生婴儿，它具有内置的神经回路，使他能够处理形式逻辑、英语语法和主观概率。在详细定义了一只乌鸦之后，他现在可能会争辩说，几乎不可能有任何乌鸦，因此极有可能所有的乌鸦都是黑色的，也就是说，H 为真。 “另一方面，”他继续争辩说，“如果有乌鸦，那么它们有多种颜色的可能性是合理的。因此，如果我发现甚至存在一只黑乌鸦，I会认为 H 的可能性比最初的要小。
根据古德的说法，这与人们可以合理地预期达到完全无知的状态一样接近，而且尼科德的状态似乎仍然是错误的。 Maher 通过使用 Carnap 的归纳理论来形式化“如果有一只乌鸦，那么很可能有很多只乌鸦”这一概念，使古德的论点更加精确。

Maher 的论点考虑了一个恰好由两个物体组成的宇宙，每个物体都不太可能是乌鸦（千分之一的机会）并且不太可能是黑色的（十分之一的机会）。使用 Carnap 的归纳公式，他发现当发现两个物体中的一个是黑乌鸦时，所有乌鸦都是黑色的概率从 0.9985 降低到 0.8995。

Maher 得出结论，不仅矛盾的结论是正确的，而且 Nicod 的标准在没有背景知识的情况下也是错误的（除了知道宇宙中物体的数量是两个并且乌鸦比黑色物体的可能性更小）。

杰出谓词
Quine 认为，悖论的解决方案在于承认某些谓词，他称之为自然类，在归纳方面具有显著的地位。这可以用 Nelson Goodman 的谓词 grue 示例来说明。如果一个物体在（比如）2022 年之前是蓝色的，之后是绿色的，那么它就是灰色的。显然，预计 2022 年之前为蓝色的物体在之后会保持蓝色，但不希望在 2022 年之前被发现为蓝色的物体在 2022 年之后是蓝色的，因为在 2022 年之后它们将是绿色的。 Quine 的解释是，“蓝色”是一种自然的种类；可以将其用于归纳的特权谓词，而“grue”不是自然种类，并且将其与归纳一起使用会导致错误。

这暗示了悖论的解决方案——Nicod 的标准对于自然种类是正确的，例如“蓝色”和“黑色”，但对于人为设计的谓词是错误的，例如“grue”或“non-raven”。根据该决议，悖论出现了，因为隐含地将 Nicod 的标准解释为适用于所有谓词，而实际上它只适用于自然类。

Hintikka 采用了另一种方法，它支持特定谓词而不是其他方法。 Hintikka 的动机是找到一种贝叶斯方法来解决这个悖论，这种方法没有利用关于乌鸦和黑色事物相对频率的知识。他认为，关于相对频率的争论不能总是解释由对 A 类对象的观察组成的证据的感知不相关性，以了解非 A 类对象的目的。

他的论点可以通过使用“raven”和“black”以外的谓词重新表述这个悖论来说明。例如，“所有男人都是高个子”相当于“所有矮个子都是女人”，因此观察随机选择的人是个矮个子女人应该提供所有男人都高的证据。尽管缺乏背景知识来表明男性比矮个子要少得多，但仍然发现自己倾向于拒绝这个结论。 Hintikka 的例子是：“……像‘没有物质实体是无限可分的’这样的概括似乎完全不受关于非物质实体的问题的影响，这与人们对话语世界中物质和非物质实体的相对频率的看法无关。 "

他的解决方案是在谓词集中引入一个顺序。当逻辑系统配备此命令时，可以限制诸如“所有乌鸦都是黑色的”之类的概括范围，使其仅适用于乌鸦而不适用于非黑色事物，因为命令特权掠夺非黑色事物。 -黑色的东西。正如他所说：

“如果有理由假设‘所有乌鸦都是黑色’的概括范围可以仅限于乌鸦，那么这意味着有一些关于事实情况的外部信息可以依赖。悖论源于事实这些信息为对情况的自发看法增添了色彩，并没有被纳入对归纳情况的通常处理中。”

Hempel 等价条件的拒绝
解决悖论的一些方法拒绝 Hempel 的等价条件。也就是说，他们可能不会考虑支持所有非黑色物体都是非乌鸦这一陈述的证据，从而必然支持逻辑上等价的陈述，例如所有乌鸦都是黑色的。

选择性确认
舍夫勒和古德曼对这个悖论采取了一种方法，这种方法结合了卡尔波普尔的观点，即科学假设从未真正得到证实，只会被证伪。

该方法首先注意到对黑乌鸦的观察并不能证明“所有乌鸦都是黑色的”，但它证伪了相反的假设“没有乌鸦是黑色的”。另一方面，非黑非乌鸦与“所有乌鸦都是黑色的”和“没有乌鸦都是黑色的”一致。正如作者所说：

......所有乌鸦都是黑色的陈述不仅被黑色乌鸦的证据所满足，而且受到这种证据的支持，因为黑色乌鸦不证实所有乌鸦都不是黑色的相反陈述，即满足其否认。换句话说，一只黑乌鸦满足了所有乌鸦都是黑色而不是不是黑色的假设：它因此选择性地确认所有乌鸦都是黑色的。
选择性确认违反了等价条件，因为黑乌鸦选择性地确认“所有乌鸦都是黑色的”，而不是“所有非黑色的东西都是非乌鸦”。

概率或非概率归纳
舍夫勒和古德曼的选择性确认概念是对“提供有利于……的证据”的解释的一个例子，它与“增加……的可能性”不一致，这必须是所有拒绝等价条件，因为逻辑上等价的命题必须总是有相同的概率。

观察一只黑乌鸦不可能增加“所有乌鸦都是黑色的”命题的概率，而不会对“所有非黑色的东西都是非乌鸦”的概率造成完全相同的变化。如果一个观察归纳支持前者但不支持后者，那么“归纳支持”必须指代命题概率变化以外的东西。一个可能的漏洞是将“All”解释为“Nearly all”——“Nearly all raven are black”并不等同于“Nearly all non-black things are non-raven”，而这些命题的概率可能大不相同。

这就提出了概率论与归纳推理之间关系的更广泛的问题。卡尔波普尔认为，仅凭概率论不能解释归纳。他的论证涉及将一个假设H 拆分为由证据演绎的部分E 和另一部分。这可以通过两种方式完成。

这个结果对概率计算的归纳解释是完全毁灭性的。所有的概率支持都是纯粹演绎的：假设中没有被证据演绎的那部分总是被证据强烈反对……有概率支持这样的东西；甚至可能存在归纳支持之类的东西（尽管几乎不这么认为）。但是概率计算表明，概率支持不可能是归纳支持。

正统方法
正统的 Neyman-Pearson 假设检验理论考虑如何决定是接受还是拒绝假设，而不是为假设分配什么概率。从这个角度来看，“所有乌鸦都是黑色的”这个假设并没有逐渐被接受，因为当进行越来越多的观察时，它的概率会增加，而是在一个单一的动作中被接受，作为评估数据的结果已经收集了。正如内曼和皮尔森所说：

在不希望知道每个单独的假设是对还是错的情况下，可能会寻找规则来管理对它们的行为，在遵循这些规则时，可以确保从长期的经验来看，不会经常出错。
根据这种方法，没有必要为假设的概率分配任何值，尽管在决定是接受还是拒绝时，当然必须考虑给定假设或给定竞争假设的数据概率.接受或拒绝假设会带来错误的风险。

这与贝叶斯方法形成对比，贝叶斯方法要求为假设分配先验概率，根据观察到的数据对其进行修改以获得假设的最终概率。在贝叶斯框架内，没有错误的风险，因为假设不被接受或拒绝；相反，它们被分配了概率。

已经从正统的观点对悖论进行了分析，除其他见解外，还导致了对等价条件的拒绝：

很明显，一个人不能既接受所有 P 都是 Q 的假设，又拒绝相反的假设，即所有非 Q 都是非 P。然而很容易看出，根据 Neyman-Pearson 测试理论，“所有 P 都是 Q”的测试不一定是“所有非 Q 都是非 P”的测试，反之亦然。 “所有 P 都是 Q”的检验需要参考形式为的所有 P 都是 Q，<r<1 的一些替代统计假设，而检验“所有非 Q 都是非 P”需要参考某种统计替代形式，所有非 Q 都是非 P，<r<1。但这两组可能的替代方案是不同的……因此，可以对进行检验，而无需检验它的对立面。

拒绝实质性暗示
以下命题都相互暗示：“每个物体要么是黑色的，要么不是乌鸦”，“每个乌鸦都是黑色的”，“每个非黑色物体都是非乌鸦”。因此，根据定义，它们在逻辑上是等价的。然而，这三个命题有不同的领域：第一个命题说的是“每个物体”，而第二个命题说的是“每只乌鸦”。

在没有乌鸦的情况下说所有乌鸦都是黑色的，这是一个空洞的陈述。它什么都没有。 “所有的乌鸦都是白色的”同样具有相关性和真实性，如果该陈述被认为具有任何真实性或相关性。

在正确的语法用法中，对立论证不应该完全在直陈式中陈述。因此：
从这个事实来看，如果这条火柴被划伤，它就会亮，因此如果它不亮，它就没有被划伤。
很尴尬。应该说：
从这个事实来看，如果这根火柴被划伤，它会亮，因此如果它不亮，它就不会被划伤。 ...
人们可能想知道这种对矛盾律的解释对亨佩尔的证实悖论有什么影响。 “如果是乌鸦，那么是黑色”等价于“如果不是黑色，那么就不是乌鸦”。因此，任何证实后者的东西，也应该通过等价条件证实前者。是的，但黄牛仍然无法确认“所有乌鸦都是黑色的”，因为在科学中，确认是通过预测完成的，并且预测是在指示性情绪中正确陈述的。问什么证实了反事实是没有意义的。

接受假设的不同结果
一些评论员观察到，“所有乌鸦都是黑色的”和“所有非黑色的东西都是非乌鸦”这两个命题提出了检验假设的不同程序。例如。好写：

作为命题，这两个陈述在逻辑上是等价的。但它们对实验者有不同的心理影响。如果他被要求测试是否所有的乌鸦都是黑色的，他会寻找一只乌鸦，然后决定它是否是黑色的。但是如果他被要求测试是否所有非黑色的东西都是非乌鸦，他可能会寻找一个非黑色的物体，然后决定它是否是乌鸦。
最近，有人建议“所有乌鸦都是黑色的”和“所有非黑色的东西都是非乌鸦”在接受时会产生不同的效果。该论点考虑了乌鸦和黑色物体的总数或流行率未知但估计的情况。当假设“所有乌鸦都是黑色的”被接受时，根据论证，黑色物体的估计数量增加，而乌鸦的估计数量不变。

其中一个人对“所有乌鸦都是黑色的”假设进行统计检验（例如，Neyman-Pearson 检验或将证据的累积权重与阈值进行比较），而另一个人则检验“所有非乌鸦”的假设。黑色物体不是乌鸦”。为简单起见，假设用于测试的证据与这里处理的 100 个对象的集合无关。如果第一个人接受“所有乌鸦都是黑色”的假设，那么根据该论点，大约 50 个以前颜色受到怀疑的物体（乌鸦）现在被认为是黑色的，而其余物体则没有什么不同（非乌鸦）。因此，他应该估计黑乌鸦的数量为 50，黑色非乌鸦的数量为 25，非黑色非乌鸦的数量为 25。通过指定这些变化，这个论点明确限制了“所有乌鸦”的范围对乌鸦来说是黑色的。

另一方面，如果第二个人接受“所有非黑色物体都是非乌鸦”的假设，那么大约 50 个非黑色物体，其中不确定每个物体是否是乌鸦，将被认为是非黑色物体。 -乌鸦。同时，对于剩下的大约 50 个对象（黑色对象）没有什么不同。因此，他应该估计黑乌鸦的数量为 25，黑色非乌鸦的数量为 25，非黑色非乌鸦的数量为 50。接受了不同的假设，接受“所有乌鸦都是黑色的”不等于接受“所有非黑色的东西都是非乌鸦”；接受前者意味着估计更多的东西是黑色的，而接受后者意味着估计更多的东西是非乌鸦的。相应地，该论点认为，前者需要乌鸦作为证据证明是黑色的，而后者需要非黑色的东西证明是非乌鸦。

存在预设

...每个假设的逻辑形式在其推荐的支持证据类型方面将其区分开来：每个假设的可能真实替代实例与不同类型的对象有关。这两个假设包含不同种类的测试程序这一事实在形式语言中通过在不同谓词前加上运算符“*”来表达。因此，预设算子也用作相关算子。它以中的谓词为前缀，因为与“All raven are black”中包含的测试程序相关的对象仅包括乌鸦；它以谓词为前缀，在中，因为与“所有非黑色事物都是非乌鸦”中包含的测试程序相关的对象仅包括非黑色的东西。 ... 使用弗雷格术语：只要它们的前提成立，这两个假设就具有相同的指称（真值），但意义不同；也就是说，它们表达了两种不同的方式来确定该真值。

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Note: Good used "crow" instead of "raven", but "raven" has been used here throughout for consistency.
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